Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝4.

(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1)(x－2)2＋y2＝4(x≠0);(2)2+.

【解析】試題分析：（1）用極坐標(biāo)形式表示點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)條件得到|OP|＝ρ，，得到C2的極坐標(biāo)方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)，再化為直角坐標(biāo)方程；（2）由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面積為，根據(jù)三角函數(shù)的范圍得到最值.

解析：

(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ＞0)，M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1＞0)．

由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.

由|OM|·|OP|＝16，得C2的極坐標(biāo)方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．

因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．

(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB＞0)，

由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面積

S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·

＝2≤2＋.

當(dāng)α＝－時(shí)，S取得最大值2＋.

所以△OAB面積的最大值為2＋.