Question

已知復數z=a+bi（a，b為正實數，i是虛數單位）是方程x²-4x+5=0的一個根，復數w=（z-ti）²（t∈R）對應的點在第二象限，則實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：依題意，將z=a+bi代入方程x²-4x+5=0可求得正實數a，b的值，從而可得復數z=a+bi，分析復數w=（z-ti）²（t∈R）對應的點在第二象限，即可求得實數t的取值范圍．

解答：解：∵復數z=a+bi（a，b為正實數，i是虛數單位）是方程x²-4x+5=0的一個根，
∴z²-4z+5=0，
即a²-b²+2abi-4a-4bi+5=0，
∴

a2-b2-4a+5=0 2ab-4b=0

，即

(a-2)2+1-b2=0 b(a-2)=0

，
∵b＞0，
∴a=2，b=1，
∴z=2+i，
∴w=（z-ti）²=[2+（1-t）i]²=4-（1-t）²+4（1-t）i，
∵復數w=（z-ti）²（t∈R）對應的點在第二象限，
∴

4-(1-t)2＜0 4(1-t)＞0

，解得t＜-1．
∴實數t的取值范圍是（-∞，-1）．

點評：本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，考查復數相等的應用，屬于中檔題．