Question

某中學食堂定期從糧店以每噸1500元的價格購買大米，每次購進大米需支付運輸費  100元．食堂每天需用大米l噸，貯存大米的費用為每噸每天2元（不滿一天按一天計），假  定食堂每次均在用完大米的當天購買．
（1）該食堂隔多少天購買一次大米，可使每天支付的總費用最少？
（2）糧店提出價格優惠條件：一次購買量不少于20噸時，大米價格可享受九五折（即原價的95%），問食堂可否接受此優惠條件？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設每n天購一次，即購n噸，則庫存總費用為2[n+（n-1）+…+2+1]=n（n+1）．即可得到平均每天費用y₁=

1

n

[n(n+1)+100]+1500，利用基本不等式即可得出最小值．
（2）若接受優惠，每m天購一次，即購m噸（m≥20），則平均每天費用y₂=

1

m

[m(m+1)+100]+1500×0.95．利用導數研究其單調性，即可得出其最小值．

解答：解：（1）設每n天購一次，即購n噸，則庫存總費用為2[n+（n-1）+…+2+1]=n（n+1）．
則平均每天費用y₁=

1

n

[n(n+1)+100]+1500=n+

100

n

+1501≥1521．當且僅當n=10時取等號．
∴該食堂隔10天購買一次大米，可使每天支付的總費用最少．
（2）若接受優惠，每m天購一次，即購m噸（m≥20），則平均每天費用y₂=

1

m

[m(m+1)+100]+1500×0.95
=m+

100

m

+1426（m∈[20，+∞））．
令f（m）=m+

100

m

(m∈[20，+∞))．
則f′(m)=1-

100

m2

=

m2-100

m2

＞0，
故當m∈[20，+∞）時，函數f（m）單調遞增，
故當m=20時，（y₂）_min=1451＜1521．
∴食堂可接受此優惠條件．

點評：正確審請題意，利用等差數列的前n項和公式得出表達式，熟練掌握基本不等式求最值和利用導數研究函數的單調性等是解題的關鍵．