Question

【題目】已知橢圓的左右兩焦點分別為、.

（1）若矩形的邊在軸上，點、均在上，求該矩形繞軸旋轉一周所得圓柱側面積的取值范圍；

（2）設斜率為的直線與交于、兩點，線段的中點為（），求證：；

（3）過上一動點作直線，其中，過作直線的垂線交軸于點，問是否存在實數，使得恒成立，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）1.

【解析】

（1）設D（x，y），由D在橢圓上，可得|xy|，再由矩形繞y軸旋轉一周后所得圓柱體側面積為S側＝2π|BC||AB|＝4π|xy|求解；

（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2），利用點差法可得k，再由M（1，m）在橢圓內部，得m2，即0＜m，由此證明結論；

（3）直線的斜率為，則，求出，，再由到角公式可得ER為∠F1EF2的角分線，得到，即|EF1||RF2|＝λ|EF2||RF1|，可知存在實數λ＝1，使得|EF1||RF2|＝λ|EF2||RF1|恒成立．

（1）解：設D（x，y），由D在橢圓上，

得1，得|xy|，

當且僅當，即，時取“＝”．

矩形繞y軸旋轉一周后所得圓柱體側面積為S側＝2π|BC|AB|＝4π|xy|，

∴S側＝4π|xy|≤4π；

（2）證明：設P（x1，y1），Q（x2，y2），

則，，

兩式作差可得：k，

由M（1，m）在橢圓內部，得，即m2，

又m＞0，∴0＜m，得k；

（3）解：直線的斜率為，則，

又，，

設直線EF1到直線ER的角為α，直線ER到直線EF2的角為β，

則tanα，

tanβ．

∴tanα＝tanβ，則α＝β，即ER為∠F1EF2的角分線，

∴，即|EF1||RF2|＝λ|EF2||RF1|，

∴存在實數λ＝1，使得|EF1||RF2|＝λ|EF2||RF1|恒成立．