Question

如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長是2，D是棱BC的中點，點M 是棱BB₁的中點，又CM⊥AC₁，
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求二面角C-AC₁-D的大小．

Answer 1

分析：（I）取B₁C₁的中點D₁，以D點為坐標(biāo)原點，以DD₁所在直線為z軸，以DA所在直線為x軸，所在DC所在直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA₁=m，求出直線A₁B的方向向量及平面AC₁D的法向量，根據(jù)兩個向量數(shù)量積為0，兩向量垂直，可得A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）分別求出平面AC₁D的法向量和平面AC₁C的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角C-AC₁-D的余弦值，進(jìn)而得到二面角C-AC₁-D的大小．

解答：證明：（I）取B₁C₁的中點D₁，以D點為坐標(biāo)原點，以DD₁所在直線為z軸，
以DA所在直線為x軸，所在DC所在直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA₁=m，
則D(0，0，0)，C(0，1，0)，A(

3

，0，0)，M(0，-1，

m

2

)C1(0，1，m)，

CM

=(0，-2，

m

2

)，

AC1

=(-

3

，1，m)，
由AC₁⊥CM得

AC1

•

CM

=0?-2+

m2

2

=0?m=2，故AA₁=m=2
連A₁C，則A₁C∩AC₁=N，連DN，易得A₁B∥DN，
∵A₁B?平面AC₁D，DN?平面AC₁D，∴A₁B∥平面AC₁D；
（II）設(shè)平面AC₁D的法向量為

n

，
可求得

n

=(0，-2，1)，
設(shè)平面AC₁C的法向量為

m

，
可求得

m

=(1，

3

，0)，
cos＜

n

，

m

＞=

15

5

；
∴二面角C-AC₁-D的大小為arccos

15

5

．

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的判定，其中解答本題的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將線面平行問題和二面角問題轉(zhuǎn)化為向量垂直及向量夾角問題．