Question

在正方體中，分別的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）已知是靠近的的四等分點(diǎn)，求證：.

 

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）用普通方法不容易證且為正方體故選用空間向量法。先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出正方體的邊長(zhǎng)得各點(diǎn)的坐標(biāo)。用向量垂直證線線垂直，再根據(jù)線面垂直的定義證得線面垂直。（2）由（1）可知，用向量證得，即,再根據(jù)線面平行的判定定理證得線面平行。

試題解析：證明：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為.

∵分別的中點(diǎn)，

∴，，

，. 1分

（1）∵，∴. 2分

∵，，，

∴，. 3分

∵，

，

∴，. 5分

∵是平面上的兩條相交直線，∴. 6分

（2）∵是靠近的的四等分點(diǎn)，∴. 7分

設(shè)，則，

∴，

∴. 9分

∴，∴，

∵，且不在平面內(nèi)，∴. 12分

考點(diǎn)：空間向量法在立體幾何中的應(yīng)用。