Question

橢圓C的中心坐標為原點O，焦點在y軸上，焦點到相應準線的距離以及離心率均為，直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A．
（1）求橢圓方程；
（2）若的取值范圍?．

Answer 1

解：（1）設橢圓C的方程：，則c²=a²-b²，，
故橢圓C的方程為y²+2x²=1．（4分）
（2）由，
∴．
∵，
∴λ+1=4，λ=3．
設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，
因此△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）
=4（k²-2m²+2）＞0，①
則x₁+x₂=．
∵，∴-x₁=3x₂，得
得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴，
整理得：4k²m²+2m²-k²-2=0．
當時，上式不成立．
∴．
由①式得k²＞2m²-2，
∵λ=3，∴k≠0，，
所以或．
即所求m的取值范圍為（14分）
分析：（1）利用待定系數法求橢圓的方程，設出橢圓C的標準方程，依條件得出a，b的方程，求出a，b即得橢圓C的方程．
（2）先設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量條件即可求得m的取值范圍，從而解決問題．
點評：本題考查用待定系數法求曲線方程的方法，設計新穎，基礎性強 待定系數法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，向量問題，成為解決本題的關鍵．