Question

【題目】如圖，一張坐標紙上一已作出圓及點，折疊此紙片，使與圓周上某點重合，每次折疊都會留下折痕，設折痕與直線的交點為，令點的軌跡為.

（1）求軌跡的方程；

（2）若直線與軌跡交于兩個不同的點，且直線與以為直徑的圓相切，若，求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】試題分析：（1）折痕為的垂直平分線，則，推導出的軌跡是以為焦點的橢圓，且且，，由此能求出的軌跡的方程．

（2）與以為直徑的圓相切，，從而，由，得，由此利用根的判別式、韋達定理、向量的數量積、弦長公式、三角形面積公式，能求出的面積的取值范圍．

試題解析：

（1）折痕為的垂直平分線，則，由題意知圓的半徑為，

∴，

∴的軌跡是以為焦點的橢圓，且，，

∴，∴的軌跡的方程為.

（2）與以為直徑的圓相切，則到即直線的距離：

，即，

由，消去，得，

∵直線與橢圓交于兩個不同點，

∴，，

設，，則，，

，

又 ，∴，∴，

設，則，∴ ，，

∵關于在單調遞增，∴，∴的面積的取值范圍是.