Question

【題目】設f（x）=ax2﹣（a+1）x+1
（1）解關于x的不等式f（x）＞0；
（2）若對任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）＞0，即為ax2﹣（a+1）x+1＞0，

即有（ax﹣1）（x﹣1）＞0，

當a=0時，即有1﹣x＞0，解得x＜1；

當a＜0時，即有（x﹣1）（x﹣ ）＜0，

由1＞ 可得 ＜x＜1；

當a=1時，（x﹣1）2＞0，即有x∈R，x≠1；

當a＞1時，1＞ ，可得x＞1或x＜ ；

當0＜a＜1時，1＜ ，可得x＜1或x＞ ．

綜上可得，a=0時，解集為{x|x＜1}；

a＜0時，解集為{x| ＜x＜1}；

a=1時，解集為{x|x∈R，x≠1}；

a＞1時，解集為{x|x＞1或x＜ }；

0＜a＜1時，解集為{x|x＜1或x＞ }

（2）解：對任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，

即為ax2﹣（a+1）x+1＞0，

即a（x2﹣1）﹣x+1＞0，對任意的a∈[﹣1，1]恒成立．

設g（a）=a（x2﹣1）﹣x+1，a∈[﹣1，1]．

則g（﹣1）＞0，且g（1）＞0，

即﹣（x2﹣1）﹣x+1＞0，且（x2﹣1）﹣x+1＞0，

即（x﹣1）（x+2）＜0，且x（x﹣1）＞0，

解得﹣2＜x＜1，且x＞1或x＜0．

可得﹣2＜x＜0．

故x的取值范圍是（﹣2，0）

【解析】（1）對f（x）＞0，變形為（ax﹣1）（x﹣1）＞0，對a討論，分a=0，a＜0，a=1，a＞1，0＜a＜1，化簡不等式，即可得到所求解集；（2）由題意可得，a（x2﹣1）﹣x+1＞0，對任意的a∈[﹣1，1]恒成立．設g（a）=a（x2﹣1）﹣x+1，a∈[﹣1，1]．可得g（﹣1）＞0，且g（1）＞0，由二次不等式的解法，即可得到所求x的范圍．