Question

【題目】如圖,港口A在港口O的正東100海里處,在北偏東方向有條直線航道OD,航道和正東方向之間有一片以B為圓心,半徑為海里的圓形暗礁群（在這片海域行船有觸礁危險）,其中OB＝海里,tan∠AOB＝,cos∠AOD＝,現一艘科考船以海里/小時的速度從O出發沿OD方向行駛,經過2個小時后,一艘快艇以50海里/小時的速度準備從港口A出發,并沿直線方向行駛與科考船恰好相遇.

（1）若快艇立即出發,判斷快艇是否有觸礁的危險,并說明理由；

（2）在無觸礁危險的情況下,若快艇再等x小時出發,求x的最小值.

Answer 1

【答案】（1）快艇立即出發有觸礁的危險,見解析；（2）3－

【解析】

(1) 以O為原點,正東方向為x軸,正北方向為y軸,建立直角坐標系xOy.再設設快艇立即出發經過t小時后兩船相遇于點C, 根據余弦定理可解得,繼而得出直線AC的方程,判斷出圓心到直線AC的距離小于半徑,即可知有危險.

(2) 設快艇所走的直線與圓B相切,且與科考船相遇于點E.根據圓心B到直線AC的距離為可求得直線OD的方程為y＝2x.進而聯立方程可求得E(50,100),再計算兩船的時間差即可得x的最小值.

如圖,以O為原點,正東方向為x軸,正北方向為y軸,建立直角坐標系xOy.

因為OB＝20,tan∠AOB＝,OA＝100,所以點B(60,40),且A(100,0).

（1）設快艇立即出發經過t小時后兩船相遇于點C,則OC＝10(t＋2),AC＝50t.

因為OA＝100,cos∠AOD＝,所以AC2＝OA2＋OC2－2OA·OC·cos∠AOD,

即(50t)2＝1002＋[10(t＋2)]2－2×100×10(t＋2)×.化得t2＝4,解得t1＝2,t2＝－2（舍去）,

所以OC＝40,因為cos∠AOD＝,所以sin∠AOD＝,所以C(40,80),

所以直線AC的方程為y＝－(x－100),即4x＋3y－400＝0.

因為圓心B到直線AC的距離d＝＝8,而圓B的半徑r＝8,

所以d＜r,此時直線AC與圓B相交,所以快艇有觸礁的危險.

答：若快艇立即出發有觸礁的危險.

（2）設快艇所走的直線與圓B相切,且與科考船相遇于點E.

設直線的方程為y＝k(x－100),即kx－y－100k＝0.

因為直線AE與圓B相切,所以圓心B到直線AC的距離d＝＝,

即2k2＋5k＋2＝0,解得k＝－2或k＝－. 由（1）可知k＝－舍去.

因為cos∠AOD＝,所以tan∠AOD＝2,所以直線OD的方程為y＝2x.

由解得所以E(50,100), 所以AE＝50,OE＝50,

此時兩船的時間差為－＝5－,所以x≥5－－2＝3－.

x的最小值為小時.