Question

已知定義域為（0，+∞）的函數f（x）滿足：對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；當x∈（1，2]時，f（x）=2-x．給出如下結論：
①對任意m∈Z，有f（2^m）=0；
②函數f（x）的值域為[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2ⁿ+1）=9；
④“若k∈Z，若（a，b）⊆（2^k，2^k+1）”，則“函數f（x）在區間（a，b）上單調遞減”
其中所有正確結論的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：依據題中條件注意研究每個選項的正確性，連續利用題中第（1）個條件得到①正確；利用反證法及2^x變化如下：2，4，8，16，32，判斷②命題錯誤；連續利用題中第③個條件得到③正確；據①③的正確性可得④是正確的．

解答：解：∵x∈（1，2]時，f（x）=2-x．∴f（2）=0．f（1）=

1

2

f(2)=0．
∵f（2x）=2f（x），∴f（2^kx）=2^kf（x）．
①f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2）=0，∴①正確．
②設x∈（2，4]時，則

1

2

x∈(1，2]，∴f（x）=2f（

x

2

）=4-x≥0．
若x∈（4，8]時，則

1

2

x∈（2，4]，∴f（x）=2f（

x

2

）=8-x≥0．
…
一般地當x∈（2^m，2^m+1），
則

x

2m

∈（1，2]，f（x）=2^m+1-x≥0，
從而f（x）∈[0，+∞），∴②正確
③由②知當x∈（2^m，2^m+1），f（x）=2^m+1-x≥0，
∴f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1=2ⁿ-1，假設存在n使f（2ⁿ+1）=9，
即2ⁿ-1=9，∴2ⁿ=10，
∵n∈Z，∴2ⁿ=10不成立，∴③錯誤；
④由②知當x⊆（2^k，2^k+1）時，f（x）=2^k+1-x單調遞減，為減函數，
∴若（a，b）⊆（2^k，2^k+1）”，則“函數f（x）在區間（a，b）上單調遞減”．
∴④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題主要考查抽象函數的性質，考查了函數的單調性，以及學生的綜合分析能力．