Question

（本小題滿分13分）
某設計部門承接一產品包裝盒的設計（如圖所示），客戶除了要求、邊的長分別為和外，還特別要求包裝盒必需滿足：①平面平面；②平面與平面所成的二面角不小于；③包裝盒的體積盡可能大。
若設計部門設計出的樣品滿足：與均為直角且長，矩形的一邊長為，請你判斷該包裝盒的設計是否能符合客戶的要求？說明理由．

Answer 1

解：該包裝盒的樣品設計符合客戶的要求。
（1）以下證明滿足條件①的要求.
∵四邊形為矩形，與均為直角，
∴且 ∴面，
在矩形中，∥
∴面∴面面  ………………………………………………3分
（2）以下證明滿足條件②、③的要求.
∵矩形的一邊長為，
而直角三角形的斜邊長為，∴
設，則，
以為原點，分別為軸的正半軸建立空間直角坐標系，
則，，，
設面的一個法向量為，，
∵
∴，取，則………………………6分
而面的一個法向量為，
設面與面所成的二面角為，則，
∴， ∴，
即當時，面與面所成的二面角不小于.     ……………………………8分
又， 由與均為直角知，面，該包裝盒可視為四棱錐，

當且僅當，即時，的體積最大，最大值為.      …………………………………………………………………………………12分
而，可以滿足面與面所成的二面角不小于的要求，
綜上，該包裝盒的設計符合客戶的要求。            ………………………………………13分

解析