Question

如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．點E、F分別在邊CD、CB上，點E與點C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面POA；
（Ⅱ）當PB取得最小值時，請解答以下問題：
（i）求四棱錐P-BDEF的體積；
（ii）若點Q滿足=λ （λ＞0），試探究：直線OQ與平面PBD所成角的大小是否一定大于？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用菱形ABCD的對角線互相垂直證明BD⊥AO，證明PO⊥平面ABFED，可得PO⊥BD，利用線面垂直的判定，可得BD⊥平面POA；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系O-xyz．（ⅰ）設AO∩BD=H，PO=x，則=（ 2-x，2，-x），從而確定PB的最小值，進而可得四棱錐P-BDEF的體積；
（ⅱ）確定的坐標，求出平面PBD的法向量，利用向量的夾角公式可求直線OQ與平面PBD所成的角，從而可得結論成立．
解答：（Ⅰ）證明：∵菱形ABCD的對角線互相垂直，
∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
（Ⅱ）如圖，以O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz．（5分）
（ⅰ）設AO∩BD=H．因為∠DAB=60°，所以△BDC為等邊三角形，
故BD=4，HB=2，HC=2．
又設PO=x，則OH=2-x，OA=4-x．
所以O（0，0，0），P（0，0，x），B（2-x，2，0），
故=（ 2-x，2，-x），（6分）
所以||=，
∴當x=時，|PB|_min=．
此時PO=，OH=（7分）
由（Ⅰ）知，PO⊥平面ABFED，所以=3．（8分）
（ⅱ）設點Q的坐標為（a，0，c），由（i）知，OP=，則A（3，0，0），B（，2，0），D（，-2，0），P（0，0，）．
所以，（9分）
∵=λ （λ＞0），
∴，∴．
∴Q（，），
∴=（）．    （10分）
設平面PBD的法向量為，則．
∵，∴，
取x=1，解得：y=0，z=1，所以．（11分）
設直線OQ與平面PBD所成的角θ，
∴sinθ=|cos|==．（12分）
又∵λ＞0∴sinθ＞．（13分）
∵θ∈[0，]，∴θ＞．
因此直線OQ與平面PBD所成角大于，即結論成立． （14分）
點評：本題考查線面垂直，考查線面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，確定平面的法向量是關鍵．