Question

已知函數，，其中,設．
(1)判斷的奇偶性，并說明理由；
(2)若，求使成立的x的集合．

Answer 1

(1)奇函數
(2){x|0<x<1}

(1)由對數的意義，分別得1＋x>0，1－x>0，即x>－1，x<1.
∴函數f(x)的定義域為(－1，＋∞)，函數g(x)的定義域為(－∞，1)，
∴函數h(x)的定義域為(－1,1)．……………………3分
∵對任意的x∈(－1,1)，－x∈(－1,1)，
h(－x)＝f(－x)－g(－x)
＝log_a(1－x)－log_a(1＋x)
＝g(x)－f(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函數．           ………………………….6分
(2)由f(3)＝2，得a＝2.
此時h(x)＝log₂(1＋x)－log₂(1－x)，
由h(x)>0即log₂(1＋x)－log₂(1－x)>0，
∴log₂(1＋x)>log₂(1－x)．
由1＋x>1－x>0，解得0<x<1.
故使h(x)>0成立的x的集合是{x|0<x<1}．………………..12分