Question

【題目】已知函數f（x）=x|x+a|﹣ lnx．
（1）當a=0時，討論函數f（x）的單調性；
（2）若a＜0，討論函數f（x）的極值點．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=0時，f（x）=x2﹣ lnx，函數的定義域為（0，+∞）．

f′（x）= ，

令f′（x）＞0，可得x＞ ，f′（x）＞0，可得0＜x＜ ，

∴函數f（x）的單調增區間是（ ，+∞），單調減區間是（0， ）

（2）解：當a＜0時，f（x）= ．

①x＞﹣a時，f′（x）= =0，可得x1= ，x2= ＜﹣a（舍去）．

若 ≤﹣a，即a≤﹣ ，f′（x）≥0，∴函數f（x）在（﹣a，+∞）上單調遞增；

若 ＞﹣a，即﹣ ＜a＜0，則當x∈（﹣a，x1）時，f′（x）＜0，x∈（x1，+∞），f′（x）＞0，

∴f（x）在∈（﹣a，x1）上單調遞減，在（x1，+∞）上單調遞增．

②當0＜x＜﹣a時，f′（x）= =0，得﹣4x2﹣2ax﹣1=0．

記△=4a2﹣16．

△≤0，即﹣2≤a＜0，f′（x）≤0，∴f（x）在（0，﹣a）上單調遞減；

△＞0，即a＜﹣2，f′（x）=0可得x3= ，x4= 且0＜x3＜x4＜﹣a．

x∈（0，x3）時，f′（x）＜0，x∈（x3，x4）時，f′（x）＞0，x∈（x4，﹣a），f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，x3）上單調遞減，在（x3，x4）上單調遞增，在（x4，﹣a）上單調遞減，

綜上所述，a＜﹣2時，f（x）的極小值點為 ，極大值點為 ；﹣2≤a≤﹣ 時，f（x）無極值點；

﹣ ＜a＜0時，f（x）的極小值點為

【解析】（1）當a=0時，f（x）=x2﹣ lnx，函數的定義域為（0，+∞），求導數，斷導數的符號，即可判斷f（x）的單調性；（2）分類討論，利用極值的定義，即可討論函數f（x）的極值點．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)的相關知識才是答題的關鍵．