Question

【題目】已知函數f（x）=（2log4x﹣2）（log4x﹣ ），
（1）當x∈[2，4]時，求該函數的值域；
（2）求f（x）在區間[2，t]（t＞2）上的最小值g（t）．

Answer 1

【答案】
（1）解：令m=log4x，x∈[2，4]時，則m∈[ ，1]，

則f（t）=（2m﹣2）（m﹣ ）=2m2﹣3m+1=2（m﹣ ）2﹣ ，

當m= 時，有最小值為﹣ ，

當m= 或1時，有最大值為0，

∴該函數的值域為[﹣ ，0]

（2）解：由（1）可知f（m）=2m2﹣3m+1=2（m﹣ ）2﹣ ，

∵x∈[2，t]，

∴m∈[ ，log4t]，

當 ≤m＜ 時，即2≤t＜2 時，函數f（t）在[ ，log4t]，單調遞減，

g（t）=f（t）min=f（log4t）=2log42t﹣3log4t+1

當m≥ 時，即t≥2 時，函數f（t）在[ ， ]上單調遞減，

在（ ，log4t]單調遞增，g（t）=f（t）min=f（ ）=﹣ ，

綜上所述：g（t）=

【解析】（1）令m=log4x，則可將函數在x∈[2，4]時的值域問題轉化為二次函數在定區間上的值域問題；（2）根據二次函數的性質和對稱軸，分類討論即可求出最小值．
【考點精析】本題主要考查了函數的值域和函數的最值及其幾何意義的相關知識點，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值才能正確解答此題．