Question

已知數列的通項公式為，數列的前項和為，且滿足．
（1）求的通項公式；
（2）在中是否存在使得是中的項，若存在，請寫出滿足題意的其中一項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）數列的通項公式為；（2）存在，如，是的第5項．

試題分析：（1）首先令求出的值，當時，兩式相減得：，即：，從而為首項和公比均為的等比數列，最后利用等比數列的通項公式可求得數列的通項公式；（2）先假設存在，即中第項滿足題意，亦即，故，因此只要取，就能使得是數列中的第項．
試題解析：（1）當時，．                      （2分）
當時，兩式相減得：，即：．    （6分）
故為首項和公比均為的等比數列，．                   （8分）
（2）設中第項滿足題意，即，即，所以，取，則（其它形如的數均可）．                                    （14分）