設函數
的定義域是
,其中常數
.
(1)若
,求
的過原點的切線方程.
(2)當
時,求最大實數
,使不等式
對
恒成立.
(3)證明當時,對任何
,有
.
(1)切線方程為
和
.(2)的最大值是
.（3）詳見解析.
解析試題分析：(1)一般地，曲線在點
處的切線方程為：
.注意，此題是求過原點的切線，而不是求在原點處切線方程，而該曲線又過原點，故有原點為切點和原點不為切點兩種情況.當原點不為切點時需把切點的坐標設出來.(2)令
,則問題轉化為
對恒成立.注意到
,所以如果
在
單調增,則必有對恒成立.下面就通過導數研究的單調性.（3）不等式可變形為：
.為了證這個不等式，首先證
；而證這個不等式可利用導數證明
.故令
，然后利用導數求在區間
上范圍即可.
試題解析：(1)
.若切點為原點,由
知切線方程為;
若切點不是原點,設切點為
,由于
,故由切線過原點知
,在
內有唯一的根
.
又
,故切線方程為.
綜上所述,所求切線有兩條,方程分別為和.
(2)令
,則
,
,顯然有
,且
的導函數為：
.
若
,則
,由
知
對
恒成立,從而對恒有
,即在
單調增,從而
對恒成立,從而
在單調增,
對恒成立.
若
,則
,由知存在
,使得
對
恒成立,即
對恒成立,再由知存在
,使得
對
恒成立,再由便知
不能對恒成立.
綜上所述,所求
的最大值是.
（3）當時，令，則
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝lnx－mx（m
R）．
（1）若曲線y＝f(x)過點P(1，－1)，求曲線y＝f(x)在點P處的切線方程；
（2）求函數f(x)在區間[1，e]上的最大值；
（3）若函數f(x)有兩個不同的零點x1，x2，求證：x1x2＞e2．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
（1）若方程
內有兩個不等的實根，求實數m的取值范圍；（e為自然對數的底數）
（2）如果函數
的圖象與x軸交于兩點
、
且
.求證：
（其中正常數
）.
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，試確定函數
的單調區間；
，且對于任意
，
恒成立，試確定實數
的取值范圍；
在點(2，f (2))處的切線方程；
在閉區間[0，|2a|]上的最小值．
，
.
時，求
的最小值；
，求a的取值范圍.
（
）
時，求曲線
在
處的切線方程；
上函數
的圖象恒在直線
下方，求
的取值范圍．
的正方形鐵皮的四切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？