Question

（1）已知矩陣M

2 -3 1 -1

所對應的線性變換把點A（x，y）變成點A′（13，5），試求M的逆矩陣及點A的坐標．
（2）已知直線l：3x+4y-12=0與圓C：

x=-1+2cosθ y=2+2sinθ

（θ為參數 ）試判斷他們的公共點個數；
（3）解不等式|2x-1|＜|x|+1．

Answer 1

分析：（1）由矩陣的線性變換列出關于x和y的一元二次方程組，求出方程組的解集即可得到點A的坐標；可設出矩陣M的逆矩陣，根據逆矩陣的定義得到逆矩陣與矩陣M的乘積等于單位矩陣，得到一個一元二次方程組，求出方程組的解集即可得到M的逆矩陣；
（2）把圓的參數方程化為普通方程后，找出圓心坐標與半徑，然后利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d與半徑r比較大小得到直線與圓的位置關系，即可得到交點的個數；
（3）分三種情況x大于等于

1

2

，x大于等于0小于

1

2

和x小于0，分別化簡絕對值后，求出解集，即可得到原不等式的解集．三個題中任選兩個作答即可．

解答：解：（1）由題意可知

.

2 -3 1 -1

.

（x，y）=（13，5），即

2x-3y=13 x-y=5

，
解得

x=2 y=-3

，所以A（2，-3）；
設矩陣M的逆矩陣為

.

a b c d

.

，則

.

a b c d

.

•

.

2 -3 1 -1

.

=

.

1 0 0 1

.

，即

2a+b=1 3a+b=0

，
且

2c+d=0 -3c-d=1

，解得a=-1，b=3，c=-1，d=2
所以矩陣M的逆矩陣為

.

-1 3 -1 2

.

；
（2）把圓的參數方程化為普通方程得（x+1）²+（y-2）²=4，圓心（-1，2），半徑r=2
則圓心到已知直線的距離d=

|-3+8-12|

32+42

=

7

5

＜2=r，得到直線與圓的位置關系是相交，
所以直線與圓的公共點有兩個；
（3）當x≥

1

2

時，原不等式變為：2x-1＜x+1，解得x＜2，所以原不等式的解集為[

1

2

，2）；
當0≤x＜

1

2

時，原不等式變為：1-2x＜x+1，解得x＞0，所以原不等式的解集為[0，

1

2

）；
當x＜0時，原不等式變為：1-2x＜-x+1，解得x＞0，所以原不等式無解．
綜上，原不等式的解集為[0，2）．

點評：此題考查學生會求矩陣的逆矩陣及掌握矩陣的線性變換，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，掌握直線與圓的位置關系的判斷方法，會利用討論的方法求絕對值不等式的解集，是一道綜合題．