Question

下列命題中所有正確的是：

（1）（2）

（1）每個定義域關于原點對稱的函數都可以分解為一個奇函數與一個偶函數的和．
（2）若f（x）可分解為一個奇函數與一個偶函數的和，則這種分解方法只有一種．
（3）非零奇函數與非零偶函數的和必為非奇非偶函數．
（4）f（x）=

9-x2

|x+5|+|3-x|

為非奇非偶函數．

Answer 1

分析：根據函數奇偶性的定義和圖象的性質分別判斷即可．

解答：解：（1）因為f（x）=

f(x)+f(-x)

2

+

f(x)-f(-x)

2

，設g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

，則g（x）為偶函數，h（x）為奇函數，所以（1）正確．
（2）若f（x）可分解為一個奇函數與一個偶函數的和，不妨設f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）為偶函數，h（x）為奇函數，則f（-x）=g（-x）+h（-x）=g（x）-h（x），
則聯立兩式得，g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

，此種分解方法只有一種，所以（2）正確．
（3）由（1）（2）的證明過程知，非零奇函數與非零偶函數的和不一定是非奇非偶函數．所以錯誤．
（4）因為函數的定義域為[-3，3]，所以此時f(x)=

9-x2

x+5+3-x

=

9-x2

8

為偶函數，所以（4）錯誤．
故答案為：（1），（2）．

點評：本題主要考查函數的奇偶性的應用，利用函數奇偶性的定義和性質是解決本題的關鍵，考查學生的分析能力．