Question

【題目】如圖，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O為圓心， OA為半徑作圓．

（1）證明：直線AB與⊙O相切；
（2）點C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點共圓，證明：AB∥CD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設K為AB中點，連結OK，

∵OA=OB，∠AOB=120°，

∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°= OA，

∴直線AB與⊙O相切；

（2）解：因為OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四點所在圓的圓心．設T是A，B，C，D四點所在圓的圓心．

∵OA=OB，TA=TB，

∴OT為AB的中垂線，

同理，OC=OD，TC=TD，

∴OT為CD的中垂線，

∴AB∥CD

【解析】（1）設K為AB中點，連結OK．根據等腰三角形AOB的性質知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°= OA，則AB是圓O的切線．（2）設圓心為T，證明OT為AB的中垂線，OT為CD的中垂線，即可證明結論．