Question

已知關于x的不等式x+

1

x-a

≥7在x∈(a，+∞)上恒成立，則實數a的最小值為

5

．

Answer 1

分析：構造函數g（x）=x+

1

x-a

-7，（x＞a），利用g（x）在（a，a+1]上單調遞減，在[a+1，+∞）上單調遞增即可求得答案．

解答：解：令g（x）=x+

1

x-a

-7，
則g（x）=（x-a）+

1

x-a

+a-7，
由雙鉤函數的性質得：g（x）在（a，a+1]上單調遞減，在[a+1，+∞）上單調遞增，
∴g（x）_min=g（a+1）=1+a+1-7=a-5≥0．
∴a≥5．
∴實數a的最小值為5．
故答案為：5

點評：本題考查雙鉤函數的單調性，分析出g（x）=x+

1

x-a

-7在x=a+1處取到最小值是關鍵，也是難點，屬于中檔題．