Question

已知向量

m

=(

3

sinωx，0)，

n

=(cosωx，-sinωx)(ω＞0)，在函數f(x)=

m

•(

m

+

n

)+t的圖象上，對稱中心到對稱軸的最小距離為

π

4

，且當x∈[0，

π

3

]時f（x）的最小值為

3

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調遞增區間；
（3）若對任意x₁，x₂∈[0，

π

3

]都有|f（x₁）-f（x₂）|＜m，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）化簡函數f(x)=

m

•(

m

+

n

)+t的解析式，根據它的

1

4

周期等于

π

4

，求出ω的值，再根據當x∈[0，

π

3

]時f（x）的最小值為

3

2

，求出t的值，即可得到f（x）的解析式．
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解出x的范圍，即可得到單調遞增區間．
（3）當x∈[0，

π

3

]時，求得f（x）的最大值為

9

2

，最小值為

3

2

，可得|f（x₁）-f（x₂）|的最大值為3，由此得到實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵

m

+

n

=(

3

sinωx+cosωx，-sinωx)，
∴f(x)=

m

•(

m

+

n

)+t=

3

sinωx(

3

sinωx+cosωx)+t 
=3sin2ωx+

3

sinωxcosωx+t=

3(1-cos2ωx)

2

+

3

2

sin2ωx+t=

3

2

sin2ωx-

3

2

cos2ωx+

3

2

+t=

3

sin(2ωx-

π

3

)+

3

2

+t，
由題意可得

T

4

=

π

4

，∴ω=1． 
∵0≤x≤

π

3

，∴-

π

3

≤2x-

π

3

≤

π

3

．
 又f（x）的最小值為

3

2

=

3

×（-

3

2

）+

3

2

+t，
∴t=

3

2

，
故 f(x)=

3

sin(2x-

π

3

)+3．
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，可得-

π

6

+2kπ≤2x≤

5π

6

+2kπ，k∈Z，
∴-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ，k∈Z，
即單調遞增區間為：[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]，k∈Z．
（3）當x∈[0，

π

3

]時，f（x）的最大值為 

3

×（

3

2

）+

3

2

+

3

2

=

9

2

，最小值為

3

2

，
∴|f（x₁）-f（x₂）|的最大值為

9

2

-

3

2

=3．
∵對任意x₁，x₂∈[0，

π

3

]都有|f（x₁）-f（x₂）|＜m，
∴m＞3，即實數m的取值范圍為（3，+∞）．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，兩個向量的數量積的定義，正弦函數的定義域和值域、周期性及單調性的應用，屬于中檔題．