Question

(本小題滿分16分)
已知數列滿足．
（1）求數列的通項公式；
（2）對任意給定的，是否存在（）使成等差數列？若存在，用分別表示和（只要寫出一組）；若不存在，請說明理由；
（3）證明：存在無窮多個三邊成等比數列且互不相似的三角形，其邊長為．

Answer 1

【解】（1）當時，；
當時，，
所以；
綜上所述，．…………………3分
（2）當時，若存在p，r使成等差數列，則，
因為，所以，與數列為正數相矛盾，因此，當時不存在；…5分
當時，設，則，所以，……………7分
令，得，此時，，
所以，，
所以；
綜上所述，當時，不存在p，r；當時，存在滿足題設.
………………10分
（3）作如下構造：，其中，
它們依次為數列中的第項，第項，第項…12分
顯然它們成等比數列，且，，所以它們能組成三角形．
由的任意性，這樣的三角形有無窮多個．…………………14分
下面用反證法證明其中任意兩個三角形和不相似：
若三角形和相似，且，則，
整理得，所以，這與條件相矛盾，
因此，任意兩個三角形不相似．故命題成立．……………………16分

略