Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為a，側棱AA₁長為ka（k＞0），E為側棱BB₁的中點，記以AD₁為棱，EAD₁，A₁AD₁為面的二面角大小為θ．
（1）是否存在k值，使直線AE⊥平面A₁D₁E，若存在，求出k值；若不存在，說明理由；
（2）試比較tanθ與2

2

的大小．

Answer 1

（1）存在k=2，使得AE⊥平面A₁D₁E
證明：若AE⊥平面A₁D₁E，則AE⊥A₁E，于是AE²+A₁E²=AA₁²，
即2[a2+(

ka

2

)2]=(ka)2，解得k=2，
∴存在k=2，使得AE⊥平面A₁D₁E．
（2）取A₁A中點M，連接EM，在正四棱柱AC₁中，EM⊥平面ADD₁A₁，過M作MH⊥AD₁于H，連接EH，則∠MHE為二面角E-AD₁-A₁的平面角，即∠MHE=θ，
在Rt△AA₁D₁中，

MH

A1D1

=

AM

AD1

，即MH=

ka

2 1+k2

在Rt△EMH中，tanθ=

EM

MH

=2

1+ 1 k2

，
當0＜k＜1時，tanθ＞2

2

；
當k=1時，tanθ=2

2

；
當k＞1時，tanθ＜2

2