Question

（滿分20分）本題有2小題，第1小題12分，第2小題8分．
設(shè)為定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170346582207.gif" style="vertical-align:middle;" />的函數(shù)，對(duì)任意，都滿足：，，且當(dāng)時(shí)，
（1）請(qǐng)指出在區(qū)間上的奇偶性、單調(diào)區(qū)間、最大（小）值和零點(diǎn)，并運(yùn)用相關(guān)定義證明你關(guān)于單調(diào)區(qū)間的結(jié)論；
（2）試證明是周期函數(shù)，并求其在區(qū)間上的解析式．

Answer 1

略

解：（1）偶函數(shù)；.………………………………………………………………………1分
最大值為、最小值為0；.…………….……………………………………………………1分
單調(diào)遞增區(qū)間：單調(diào)遞減區(qū)間：；...…………………………………………1分
零點(diǎn)：．.…………………………..……………………………………………………1分
單調(diào)區(qū)間證明：
當(dāng)時(shí)，
設(shè)，，

證明在區(qū)間上是遞增函數(shù)
由于函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，且恒成立，
所以，，

所以，在區(qū)間上是增函數(shù)．…………………………………………………….4分
證明在區(qū)間上是遞減函數(shù)
【證法一】因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170346566270.gif" style="vertical-align:middle;" />在區(qū)間上是偶函數(shù)．
對(duì)于任取的，，有

所以，在區(qū)間上是減函數(shù)．…………………………………………………..4分
【證法二】設(shè)，由在區(qū)間上是偶函數(shù)，得

以下用定義證明在區(qū)間上是遞減函數(shù)………………………………………..4分
（2）設(shè)，，
所以，2是周期．        ……………………………………………………………4分
當(dāng)時(shí)，，
所以………………………………………….4分