Question

【題目】如圖所示的多面體是由一個直平行六面體被平面所截后得到的，其中，，.

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）在中，由余弦定理可得，則可得，在直平行六面體中，平面，則可得，由此說明平面，即可證明平面平面；

（2）以為原點建立空間直角坐標系，表示出各點的坐標，求出平面的法向量，由直線與平面所成角正弦值的公式即可得到直線與平面所成角的正弦值。

（1）證明：在中，因為，.

由余弦定理得，，

解得，

∴，

∴，

在直平行六面體中，平面，平面，

∴

又，

∴平面，

∴平面平面.

（2）解：如圖以為原點建立空間直角坐標系，

因為，，

所以，，，，

，，.

設平面的法向量，

，

令，得，，

∴.

設直線和平面的夾角為，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.