Question

已知函數y＝f(x)是偶函數，對于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立．當x1、x2∈[0，3]，且x1≠x2時，都有>0，給出下列命題：

①f(3)＝0；

②直線x＝－6是函數y＝f(x)的圖象的一條對稱軸；

③函數y＝f(x)在[－9，－6]上為單調增函數；

④函數y＝f(x)在[－9，9]上有4個零點．

其中正確的命題是________．(填序號)

 

Answer 1

①②④

【解析】令x＝－3，得f(－3)＝0，由y＝f(x)是偶函數，所以f(3)＝f(－3)＝0，①正確；因為f(x＋6)＝f(x)，所以y＝f(x)是周期為6的函數，而偶函數圖象關于y軸對稱，所以直線x＝－6是函數y＝f(x)的圖象的一條對稱軸，②正確；由題意知，y＝f(x)在[0，3]上為單調增函數，所以在[－3，0]上為單調減函數，故y＝f(x)在[－9，－6]上為單調減函數，③錯誤；由f(3)＝f(－3)＝0，知f(－9)＝f(9)＝0，所以函數y＝f(x)在[－9，9]上有個零點，④正確．