Question

(2007北京崇文模擬)如下圖，直四棱柱中，∠ADC=90°，△ABC為等邊三角形，且．

(1)求與BC所成角的余弦值；

(2)求二面角的大小；

(3)設M是線段BD上的點，當DM為何值時，⊥平面?并證明你的結論．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)∵是直四棱柱， ∴，且， ∴四邊形是平行四邊形， ∴； ∴即(或其補角)是與BC所成的角． 連接，在三角形中，，， ∴． 故與BC所成的角的余弦值為． (2)設AC∩BD=O，則BO⊥AC， 又，， ∴BO⊥平面． 過O作交于于H，連接BH，則， ∴∠OHB為二面角的平面角． 在Rt△BOH中，，， ∴， 故二面角的大小為arctan3． (3)在BD上取點M，使得OM=OD， 連接AM，CM， ∵AD=DC，∠ADC=90°， 又DO⊥AC，且AO=OC， ∴CM=AM=AD， ∴四邊形ABCD是一個正方形 可證，，又， ∴平面，此時． 故當時，有平面．