Question

【題目】已知sinα+cosα= ，α∈（0， ），sin（β﹣ ）= ，β∈（ ， ）．
（1）求sin2α和tan2α的值；
（2）求cos（α+2β）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得（sinα+cosα）2= ，

即1+sin2α= ，∴sin2α= ．

又2α∈（0， ），∴cos2α= = ，∴tan2α= =

（2）解：∵β∈（ ， ），β﹣ ∈（0， ），∴cos（β﹣ ）= ，

于是sin2（β﹣ ）=2sin（β﹣ ）cos（β﹣ ）= ．

又sin2（β﹣ ）=﹣cos2β，∴cos2β=﹣ ．

又2β∈（ ，π），∴sin2β= ．

又cos2α= = ，

∴cosα= ，sinα= （α∈（0， ））．

∴cos（α+2β）=cosαcos2β﹣sinαsin2β

= ×（﹣ ）﹣ × =﹣

【解析】（1）把已知條件兩邊平方，然后利用同角三角函數間的關系及二倍角的正弦函數公式化簡可得sin2α的值，根據2α的范圍利用同角三角函數間的關系求出cos2α即可得到tan2α的值；（2）根據β的范圍求出 的范圍，由sin（ ）的值利用同角三角函數間的關系求出cos（ ）的值，然后利用二倍角的正弦函數公式及同角三角函數間的關系分別求出sin2β和cos2β的值，根據第一問分別求出sinα和cosα的值，把所求的式子利用兩角和的余弦函數公式化簡后，將每個三角函數值代入即可求出．
【考點精析】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式和二倍角的正弦公式的相關知識點，需要掌握兩角和與差的余弦公式：；二倍角的正弦公式：才能正確解答此題．