Question

如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成一個直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=.

（1）若，求證：AB∥平面CDE；
（2）求實數的值，使得二面角AECD的大小為60°．

Answer 1

（1）答案詳見解析；（2）

試題分析：空間向量在立體幾何中的應用，最大的優點就是避開了傳統立體幾何中“如何添加輔助線”這個難點，使得操作更模式化、易操作.需根據已知條件尋找（或添加）三條共點的兩兩垂直的三條垂線，分別作為軸，建立空間直角坐標系.（1）由已知，以的方向作為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，用坐標表示有關點，要證明AB∥平面CDE，只需證明垂直于面CDE的法向量即可．本題還可以利用線面垂直的判定定理證明；（2）分別求出面和面的法向量，并求法向量的夾角，利用余弦值等于列方程，求即可．

試題解析：（1）如圖建立空間指教坐標系，則A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,),D(0,2,0),E(0,0,),
                          2分
設平面的一個法向量為，
則有，
取時，                    4分
，又不在平面內，所以平面；                       7分
（2）如圖建立空間直角坐標系，則
A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,),D(0,2,0),E(0,0,),
，
設平面的一個法向量為，
則有，取時，                  9分
又平面的一個法向量為，              10分
因為二面角的大小為，，
即，解得                      14分
又，所以．                       15分