Question

【題目】已知函數(為自然對數的底數).

（1）若對于任意實數，恒成立，試確定的取值范圍；

（2）當時，函數在上是否存在極值?若存在，請求出這個極值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）利用參變分離轉化為對應函數最值問題，再利用導數研究對應函數最值，即得結果，（2）利用導數研究函數單調性，根據單調性確定函數極值是否存在.

（1）∵對于任意實數恒成立，

∴若，則為任意實數時，恒成立；

若 恒成立，即，在上恒成立，

設，則，

當時，，則在上單調遞增；

當時，，則在上單調遞減；

所以當時，取得最大值，，

所以的取值范圍為.

綜上，對于任意實數恒成立的實數的取值范圍為.

（2）依題意，，

所以，

設，則，當，

故在上單調增函數，因此在上的最小值為，

即，

又所以在上，，

所以在上是增函數，

即在上不存在極值.