Question

【題目】如果你留心使會發現，汽車前燈后的反射鏡呈拋物線的形狀，把拋物線沿它的對稱軸旋轉一周，就會形成一個拋物面．這種拋物面形狀，正是我們熟悉的汽車前燈的反射鏡形狀，這種形狀使車燈既能夠發出明亮的、照射很遠的平行光束，又能發出較暗的，照射近距離的光線．我們都知道常規的前照燈主要是由燈泡、反射鏡和透鏡三部分組成，明亮的光束，是由位于拋物面形狀反射鏡焦點的光源射出的，燈泡位于拋物面的焦點上，燈泡發出的光經拋物面反射鏡反射形成平行光束，再經過配光鏡的散射、偏轉作用，以達到照亮路面的效果，這樣的燈光我們通常稱為遠光燈：而較暗的光線，不是由反射鏡焦點的光源射出的，光線的行進與拋物線的對稱軸不平行，光線只能向上和向下照射，所以照射距離并不遠，如果把向上射出的光線遮住．車燈就只能發出向下的、射的很近的光線了．請用數學的語言歸納表達遠光燈的照明原理，并證明．

Answer 1

【答案】遠光燈照明原理：由拋物線的焦點所在的光源發出的光線經拋物線反射后與拋物線的對稱軸平行,證明見解析

【解析】

設為拋物線上一點，法線與軸交于，反射光線為，為拋物線的焦點，的斜率，根據角的正切值，證明即可.

遠光燈照明原理：由拋物線的焦點所在的光源發出的光線經拋物線反射后與拋物線的對稱軸平行．

證明：不妨設拋物線方程為：y2＝2px（p＞0），焦點為F，P為拋物線上一點，FP的反射光線為PN，

如圖所示：設拋物線過點P的切線為直線l，法線交x軸于M，

由光的反射性質可知∠FPM＝∠MPN，

由y2＝2px，不妨設P在第一象限，P（，y0），

當y0＝0時，直線l與y軸重合，顯然PN與x軸重合，

當y0≠0時，設直線l的斜率為k，

則直線l的方程為：y＝k（x）+y0，

代入拋物線方程可得：ky2﹣2py﹣ky02+2py0＝0，

令△＝4p2﹣4k（2py0﹣ky02）＝0可得k，

故法線PM的斜率為．

不妨設P在第一象限，設∠PMx＝α，∠PFM＝β，∠NPM＝θ，

則tanα，tanβ，

∴tanθ＝tan∠FPM＝tan（α﹣β）．

∴tanθ+tanα＝0，故α+θ＝π，

∴PN∥x軸．