Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左．右焦點為F₁、F₂，離心率為e．直線l：y=ex+a與x軸．y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F₁關于直線l的對稱點，設=λ．
（Ⅰ）證明：λ=1-e²；
（Ⅱ）確定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因為A、B分別是直線l：y=ex+a與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是（-，0）（0，a）．由題設知點M的坐標是（-c，）．由=λ得（-c+，）=λ（，a）．從而解得λ=1-e²．
（Ⅱ）因為PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁為鈍角，要使△PF₁F₂為等腰三角形，必有|PF₁|=c．由題設知當λ=時，△PF₁F2為等腰三角形．
解答：解：（Ⅰ）因為A、B分別是直線l：y=ex+a與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是（-，0）（0，a）．
由得．這里c=．
所以點M的坐標是（-c，）．由=λ得（-c+，）=λ（，a）．
即．解得λ=1-e²．
（Ⅱ）因為PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁為鈍角，
要使△PF₁F₂為等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即|PF₁|=c．
設點F₁到l的距離為d，
由|PF₁|═d===c，
得=e．
所以e²=，于是λ=1-e²=．
即當λ=時，△PF₁F2為等腰三角形．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合問題，解題時要認真審題，仔細求解，合理地運用公式．