Question

一工廠有50名工人，要完成150套產品的生產任務，每套產品由3個A型零件和1個B型零件配套組成，每個工人每小時能加工5個A型零件或者3個B型零件，現在把這些工人分成兩組同時工作，一組加工A型零件，另一組加工B型零件；設加工A型零件的工人人數為x名（x∈N⁺），完成A型零件加工所需時間為f（x），完成B型零件加工所需時間為g（x）．
（1）求f（x）和g（x）的解析式并注明定義域；
（2）設h（x）是完成全部150套生產任務所需時間，列出h（x）的解析式；并求完成全部150套生產任務的最短時間及相應的x值．

Answer 1

（1）生產150套產品，需加工A型零件450個，則完成A型零件加工所需時間f(x)=

450

5x

=

90

x

（x∈N^*，1≤x≤49）；生產150套產品，需加工B型零件150個，則完成B型零件加工所需時間g(x)=

150

3(50-x)

=

50

50-x

（x∈N^*，1≤x≤49）；
（2）設完成全部生產任務所需時間為h（x）小時，則h（x）為f（x）與g（x）的較大者．令f（x）≥g（x），則

90

x

≥

50

50-x

，解得1≤x≤32

1

7

，所以當1≤x≤32時，f（x）＞g（x），當33≤x≤49時，f（x）＜g（x），
∴h(x)=

90 x ，1≤x≤32 50 50-x ，32≤x≤49

，其中x∈N^*．
當1≤x≤32時，h（x）在[1，32]上單調遞減，則h（x）在[1，32]上的最小值為h（32）=

45

16

（小時）；
當33≤x≤49時，h（x）在[33，49]上單調遞增，則h（x）在[33，49]上的最小值為h（33）=

50

17

（小時），
∵h（33）＞h（32），
∴h（x）在[1，49]上的最小值為h（32），所以x=32，故為了在最短時間內完成全部任務，x應取32．