Question

已知函數．
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）求函數的單調區間；
（3）設函數．若至少存在一個，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）,（2）當時，在上單調遞減,若，單調遞增區間為和，單調遞減區間為．若，在上單調遞增．（3）.

解析試題分析：（1）利用導數幾何意義求切線斜率，根據點斜式寫切線過程. 函數的定義域為，．當時，函數，，．所以曲線在點處的切線方程為,即．（2）利用導數研究函數單調性，關鍵明確導函數零點與定義域的關系，正確判斷導數符號. 當時，,,當時,若，由，即，得或；由，即，得．若，,.（3）存在性問題，利用變量分離轉化為求函數最值. 因為，等價于.令，等價于“當 時，”. 因為當時，，所以，因此.
函數的定義域為，．   1分
（1）當時，函數，，．
所以曲線在點處的切線方程為，
即．         4分
（2）函數的定義域為．
1.當時，在上恒成立，
則在上恒成立，此時在上單調遞減．     5分
2.當時，，
（ⅰ）若，
由，即，得或；      6分
由，即，得．         7分
所以函數的單調遞增區間為和，
單調遞減區間為