Question

【題目】定義為個正數、、、的“均倒數”.已知正項數列的前項的“均倒數”為.

（1）求數列的通項公式；

（2）設數列的前項和為，若對一切恒成立，試求實數的取值范圍；

（3）令，問：是否存在正整數使得對一切恒成立，如存在，求出值，否則說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，且.

【解析】

（1）設數列的前項和為，由題意可得，利用可求得數列的通項公式；

（2）求得，利用裂項法可求得，并得出，由題意可得，解此不等式即可得出實數的取值范圍；

（3）解法一：利用定義判斷數列的單調性，可求得數列的最大項，進而可求得的值；

解法二：解不等式可求得正整數的值.

（1）設數列的前項和為，

由于數列的前項的“均倒數”為，所以，，

當時，；

當時，.

也滿足，因此，對任意的，；

（2），

對一切恒成立，

所以，解之得或，

即的取值范圍是；

（3）解法一：，

由于，

當時，此時，數列單調遞增；當時，此時，數列單調遞減.

所以，當時，取得最大值，

即存在正整數使得對一切恒成立；

解法二：，

假設存在正整數使得，則為數列中的最大項，

由 得，解得，

又，，即存在正整數使得對一切恒成立