Question

已知函數f（x）=sin²x-4acosx，x∈[0，

π

2

]
（1）當a=1時，求函數的最小值；
（2）若f（x）的最小值為-

3

2

時，求a的值．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，令t=cosx，由于x∈[0，

π

2

]，可得 t∈[0，1]，f（x）=g（t）=-（t+2）²+5，利用函數的單調性
求得g（t）的最小值．
（2）由于函數g（t）=-t²-4at+1的對稱軸為t=-2a，t∈[0，1]，區間的中點為

1

2

，分-2a≤

1

2

以及-2a＞

1

2

兩種情況，
分別根據最小值為-

3

2

，求得 a的值．

解答：解：（1）當a=1時，函數f（x）=sin²x-4cosx=1-cos²x-4cosx=-（cosx+2）²+5，
令t=cosx，由于x∈[0，

π

2

]，∴t∈[0，1]．
故有f（x）=g（t）=-（t+2）²+5，由于g（t）在[0，1]上是減函數，故g（t）的最小值為g（1）=-4．
（2）由于函數g（t）=-t²-4at+1的對稱軸為t=-2a，t∈[0，1]，區間的中點為

1

2

，
當-2a≤

1

2

 時，函數g（t）=-t²-4at+1的最小值為 g（1）=-4a=-

3

2

，解得 a=

3

8

．
當-2a＞

1

2

時，函數g（t）=-t²-4at+1的最小值為 g（0）=1≠-

3

2

，不滿足條件．
綜上可得，a=

3

8

．

點評：本題主要考查復合三角函數的單調性，二次函數的性質應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．