Question

（本小題滿分12分）如圖，平面，四邊形是正方形， ，點(diǎn)、、分別為線段、和的中點(diǎn).

（Ⅰ）求異面直線與所成角的余弦值；
（Ⅱ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離恰為？若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）.（2）在線段上存在一點(diǎn)滿足條件，且長(zhǎng)度為.

由題意得射線 AB、AD、AP兩兩垂直，可以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，借助于向量求解。（1）要注意異面直線與所成角的余弦值非負(fù)；（2）設(shè)存在點(diǎn)，，由點(diǎn)到平面的距離恰為，可得根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得
（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB、AD、AP分別為的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系（如右圖所示），則點(diǎn)、、、，則，.設(shè)異面直線與所成角為

,
所以異面直線與所成角的余弦值為.
（2）假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)滿足條件，設(shè)點(diǎn)，平面的法向量為
，則有 得到，取，所以，則，又，解得，所以點(diǎn)即，則.所以在線段上存在一點(diǎn)滿足條件，且長(zhǎng)度為.