Question

下列幾個命題
①方程x²+（a-3）x+a=0的有一個正實根，一個負實根，則a＜0．
②函數y=

x2-1

+

1-x2

是偶函數，但不是奇函數．
③函數f（x）的值域是[-2，2]，則函數f（x+1）的值域為[-3，1]．
④設函數y=f（x）定義域為R且滿足f（x-1）=f（1-x），則函數y=f（x）的圖象關于y軸對稱．
⑤曲線y=|3-x²|和直線y=a（a∈R）的公共點個數是m，則m的值不可能是1．
其中正確的有

 

．

Answer 1

分析：用根的分布來解，令f（x）=x²+2（m-1）x+2m+6，一個比0大，一個比0小，只要f（0）＜0即可．
函數 y=

x2-1

+

1-x2

=0，既是偶函數，又是奇函數；函數f（x）的值域是[-2，2]，則函數f（x+1）的值域為[-2，2]；設函數y=f（x）定義域為R且滿足f（1-x）=f（1-x），則它的圖象關于x=0對稱；一條曲線y=|3-x²|和直線y=a（a∈R）的公共點個數是m，畫出函數的圖象，根據圖象進行判斷：m的值不可能是1．

解答：解：①方程x²+（a-3）x+a=0有一個正實根，一個負實根，則a＜0；正確；
②函數 y=

x2-1

+

1-x2

=0，函數的定義域為{-1，1}，∴y=0既是奇函數又是偶函數既是偶函數，故②不正確；
③函數f（x）的值域是[-2，2]，則函數f（x+1）的值域為[-2，2]．故③不正確；
④設函數y=f（x）定義域為R且滿足f（x-1）=f（1-x），則有：f（-x）=f（x），它的圖象關于y軸對稱．故④正確；
⑤一條曲線y=|3-x²|和直線y=a（a∈R）的公共點個數是m，根據函數y=|3-x²|的圖象可知：m的值不可能是1．故⑤正確．
故答案為：①④⑤．

點評：考查了函數思想，轉化思想，屬中檔題，是個基礎題．還考查函數圖象的對稱變化和一元二次方程根的問題，以及函數奇偶性的判定方法等基礎知識，考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力，數形結合法是解答本類題的重要方法．