Question

【題目】對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，其中，同時滿足：

①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)：②當(dāng)定義域為時，的值域為，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，區(qū)間稱為“保值函數(shù)”.

（1）求證：函數(shù)不是定義域上的“保值函數(shù)”；

（2）若函數(shù)（）是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，求的取值范圍；

（3）對（2）中函數(shù)，若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）或；（3）

【解析】

（1）根據(jù)“保值函數(shù)”的定義分析即可（2）按“保值函數(shù)”定義知，，轉(zhuǎn)化為是方程的兩個不相等的實根，利用判別式求解即可（3）去掉絕對值，轉(zhuǎn)化為不等式組，分離參數(shù)，利用函數(shù)最值解決恒成立問題.

（1）函數(shù)在時的值域為，不滿足“保值函數(shù)”的定義，

因此函數(shù)不是定義域上的“保值函數(shù)”.

（2）因為函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，

因此，，

因此是方程的兩個不相等的實根，

等價于方程有兩個不相等的實根.

由

解得或.

（3），

，

即為對恒成立.

令，易證在單調(diào)遞增，

同理在單調(diào)遞減.

因此，，

.

所以

解得.

又或，

所以的取值范圍是.