Question

如圖所示，四邊形為直角梯形，，，為等邊三角形，且平面平面，，為中點(diǎn)．

（1）求證：；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；
（3）在內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使平面，如果存在，求的長(zhǎng)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

（1）參考解析；（2）；（3），

試題分析：（1）根據(jù)題意，由于三角形ABE是等邊三角形，所以以線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出向量AB與向量DE，并求出兩個(gè)向量的數(shù)量積為零，所以兩個(gè)向量垂直，及對(duì)應(yīng)的兩條直線垂直.
（2）平面與平面垂直關(guān)鍵是求出兩個(gè)平面的法向量，再根據(jù)法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值等于銳二面角的余弦值.
（3）用待定系數(shù)的方法，假設(shè)存在該點(diǎn)Q，要滿足平面，只需要向量PQ，與平面內(nèi)任一兩條直線所對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可，從而求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即線段PQ的長(zhǎng).
試題解析：（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，
因?yàn)椤?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034144228473.png" style="vertical-align:middle;" />是正三角形，所以.
因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034144135526.png" style="vertical-align:middle;" />是直角梯形，，，
所以四邊形是平行四邊形，，
又，所以 .
所以平面，
所以.
（2）解：因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034144213551.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
，所以平面，
所以.
如圖所示，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，.
所以 ,，
設(shè)平面的法向量為，則
，
令，則,.所以.
同理求得平面的法向量為，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則
.
所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.
（3）解：設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034145898788.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，,.
依題意即
解得 ，.
符合點(diǎn)在三角形內(nèi)的條件.
所以，存在點(diǎn)，使平面，此時(shí).