Question

已知函數f(x)=2sinωxcosωx+2

3

sin2ωx-

3

（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調增區間；
（Ⅱ）將函數f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，再向上平移1個單位，得到函數y=g（x）的圖象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個零點，求b的最小值．

Answer 1

分析：（I）根據二倍角的三角函數公式與輔助角公式化簡得f(x)=2sin(2ωx-

π

3

)，利用周期公式算出ω=1，得函數解析式為f(x)=2sin(2x-

π

3

)．再由正弦函數單調區間的公式，解關于x的不等式即可得到函數f（x）的單調增區間；
（II）根據函數圖象平移的公式，得出函數g（x）的解析式為g（x）=2sin2x+1．由此解g（x）=0得sin2x=-

1

2

，利用正弦函數的圖象解出x=kπ+

7π

12

或x=kπ+

11π

12

(k∈Z)，可見g（x）在每個周期上恰有兩個零點，若g（x）在[0，b]上至少含有10個零點，則b大于或等于g（x）在原點右側的第10個零點，由此即可算出b的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，可得
f（x）=2sinωxcosωx+2

3

sin2ωx-

3

=sin2ωx-

3

cos2ωx=2sin(2ωx-

π

3

)．
∵函數的最小正周期為π，∴

π

2ω

=π，解之得ω=1．
由此可得函數的解析式為f(x)=2sin(2x-

π

3

)．
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，解之得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z
∴函數f（x）的單調增區間是[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]

，k∈Z． 
（Ⅱ）將函數f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，再向上平移1個單位，可得函數y=f（x+

π

6

）+1的圖象，
∵f(x)=2sin(2x-

π

3

)
∴g（x）=2sin[2(x+

π

6

)-

π

3

]+1=2sin2x+1，可得y=g（x）的解析式為g（x）=2sin2x+1．
令g（x）=0，得sin2x=-

1

2

，可得2x=2kπ+

7π

6

或2x=2kπ+

11π

6

(k∈Z)
解之得x=kπ+

7π

12

或x=kπ+

11π

12

(k∈Z)．
∴函數g（x）在每個周期上恰有兩個零點，
若y=g（x）在[0，b]上至少含有10個零點，則b不小于第10個零點的橫坐標即可，
即b的最小值為4π+

11π

12

=

59π

12

．

點評：本題給出三角函數式滿足的條件，求函數的單調區間并依此求解函數g（x）在[0，b]上零點的個數的問題．著重考查了二倍角的三角函數公式、輔助角公式與三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．