Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-x2+ax（a為常數）
（1）若f（x）在區間[-1，2]上單調遞減，求a的取值范圍；
（2）若f（x）與直線y=-9相切：
（ⅰ）求a的值；
（ⅱ）設f（x）在x₁，x₂（x₁＜x₂）處取得極值，記點M （x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂）），P（m，f（m）），x₁＜m＜x₂，若對任意的m∈（t，x₂），線段MP與曲線f（x）均有異于M，P的公共點，試確定t的最小值，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）f（x）在區間[-1，2]上單調遞減可得f′（x）=x²-2x+a≤0在x∈[-1，2]上恒成立，分離常數啊a，只需求出（-x²+2x）在給定區間的最小值即可；（2）
（i）f（x）與直線y=-9相切，故x²-2x+a=0①，且

1

3

x3-x2+ax=-9②聯立解得x值，進而求a的值，（ii）線段MP與曲線f（x）有異于M，P的公共點等價于上述方程在（-1，m）上有實根等價于g′（x）=3x²-6x-（m²-4m+4）=0在（-1，m）內有兩不相等的實根，解關于m的不等式可得．

解答：解：（1）f（x）在區間[-1，2]上單調遞減，則f′（x）≤0在x∈[-1，2]上恒成立，
即x²-2x+a≤0在x∈[-1，2]上恒成立，由a≤-x²+2x得，a≤（-x²+2x）_min
而y=-x²+2x是開口向下的拋物線對稱軸為直線x=1，故在x=-1處取到最小值-3，
故a的取值范圍為：a≤-3
（2）（i）f（x）與直線y=-9相切，故x²-2x+a=0①，且

1

3

x3-x2+ax=-9②
由①得a=-x²+2x代入②得

1

3

x3-x2-x3+2x2=-9，化簡得2x³-3x²-27=0，
即x³-3x²+x³-27=0，故x²（x-3）+（x-3）（x²+3x+9）=0，
則（x-3）（2x²+3x+9）=0，而2x²+3x+9恒大于0，只有x-3=0，
故x=3代入a=-x²+2x，得a=-3  
（ii）由（i）得f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1）和（3，+∞），單調遞減區間為（-1，3），
所以函數在x=-1，x=3處取得極值，故M（-1，

5

3

）N（3，-9）
所以直線MP的方程為y=

m2-4m-5

3

x+

m2-4m

3

，
由

y= m2-4m-5 3 x+ m2-4m 3 y= 1 3 x3-x2-3x

得x³-3x²-（m²-4m+4）x-m²-4m=0
線段MP與曲線f（x）有異于M，P的公共點等價于上述方程在（-1，m）上有實根，
即函數g（x）=x³-3x²-（m²-4m+4）x-m²-4m在（-1，m）上有零點．
又因為函數g（x）為三次函數，所以g（x）至多有三個零點，兩個極值點，
又因為g（-1）=g（m）=0，
因此，g（x）在（-1，m）上有零點等價于g（x）在（-1，m）上恰有一個極大值點和一個極小值點，
即g′（x）=3x²-6x-（m²-4m+4）=0在（-1，m）內有兩不相等的實根，
等價于

△=36+12(m2-4m+4)＞0 3(-1)2+6-(m2-4m+4)＞0 3m2-6m-(m2-4m+4)＞0 m＞1

即

-1＜m＜5 m＞2或m＜-1 m＞1

，
解得2＜m＜5又-1＜m≤3，所以m 的取值范圍為（2，3）
故滿足題設條件的t的最小值為2．

點評：本題為函數導數的綜合應用，分離常數把問題轉化為求函數的最值問題是解決問題的關鍵，屬中檔題．