Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是邊長為2的等邊三角形，PC= ，M在PC上，且PA∥面BDM．
（1）求直線PC與平面BDM所成角的正弦值；
（2）求平面BDM與平面PAD所成銳二面角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵面PAD⊥面ABCD，△PAD為正三角形，作AD邊上的高PO，

∵面PAD∩面ABCD=AD，由面面垂直的性質定理，得PO⊥面ABCD，

又ABCD是矩形，同理可得CD⊥面PAD，知CD⊥PD，

∵PC= ，PD=2，∴CD=3．

以AD中點O為坐標原點，OA所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，AD的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的坐標系，

則P（0，0， ），A（1，0，0），B（1，3，0），C（﹣1，3，0），D（﹣1，0，0），

連結AC交BD于點N，由PA∥面MBD，面APC∩面MBD=MN，

∴MN∥PA，又N是AC的中點，

∴M是PC的中點，則M（ ， ， ），

設面BDM的法向量為 ，

， ，

則 ，令x=1，解得y=﹣ ，z= ，得 ．

設PC與面BDM所成的角為θ，則 ，

∴直線PC與平面BDM所成角的正弦值為 ．

（2）面PAD的法向量為向量 ，設面BDM與面PAD所成的銳二面角為φ，

則cosφ= ，

故平面BDM與平面PAD所成銳二面角的大小為 ．

【解析】作AD邊上的高PO，由已知結合面面垂直的性質可得PO⊥面ABCD，再由ABCD是矩形，得到CD⊥PD，求解直角三角形可得CD．以AD中點O為坐標原點，OA所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，AD的垂直平分線為y軸，建立空間直角坐標系，求出所用點的坐標，得到平面BDM的法向量 ．（1）設PC與面BDM所成的角為θ，由sinθ=| 求得直線PC與平面BDM所成角的正弦值．（2）求出平面PAD的法向量 ，由兩平面法向量所成角的余弦值求得平面BDM與平面PAD所成銳二面角的大小．
【考點精析】關于本題考查的空間角的異面直線所成的角，需要了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．