Question

【題目】已知函數.

（1）若，求的單調區間；

（2）若關于的不等式對一切恒成立，求實數的取值范圍；

（3）求證：對，都有.

Answer 1

【答案】(1) 單調增區間為，單調減區間為.(2) ；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)求解導函數有.結合函數的定義域和導函數與原函數之間的關系可得的單調增區間為，單調減區間為.

(2)二次求導可得.分類討論：

①當時， 對一切恒成立.

②當時， ， 對一切不恒成立.

③當時， 對一切不恒成立.

綜上可得實數的取值范圍是.

(3)結合(2)的結論，取，有時， .則.結合對數的運算法則即可證得題中的不等式.

試題解析：

（1）當時，函數，

定義域為， .

令可得，令可得.

所以的單調增區間為，單調減區間為.

（2），

.

①當時， ， .

故在區間上遞增，

所以，從而在區間上遞增.

所以對一切恒成立.

②當時， ，

.

當時， ，

當時， .

所以時， .

而，故.

所以當時， ， 遞減，

由，知，此時對一切不恒成立.

③當時， ，

在區間上遞減，有，

從而在區間上遞減，有.

此時對一切不恒成立.

綜上，實數的取值范圍是.

（3）由（2）可知，取，當時，有.

取，有，即.

所以

，

所以.