Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣ax+a（a∈R），其中e為自然對數的底數．
（1）討論函數y=f（x）的單調性；
（2）函數y=f（x）的圖象與x軸交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）兩點，x1＜x2 ， 點C在函數y=f（x）的圖象上，且△ABC為等腰直角三角形，記 ，求at﹣（a+t）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=ex﹣ax+a，f'（x）=ex﹣a，

①當a≤0時，則f'（x）＞0，則函數f（x）在（﹣∞，+∞）是單調增函數．

②當a＞0時，令f'（x）=0，則x=lna，

若x＜lna，f'（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，lna）上是單調減函數；

若x＞lna，f'（x）＞0，所以f（x）在（lna，+∞）上是單調增函數．

（2）解：由（1）可知當a＞0時，函數y=f（x）其圖象與x軸交于兩點，則有 ，則 ，則xi＞1（i=1，2）．

于是 ，在等腰三角形ABC中，顯然C=90°，所以 ，即y0=f（x0）＜0，

由直角三角形斜邊的中線性質，可知 ，

所以 ，即 ，

所以 ，

即 ．

因為x1﹣1≠0，則 ，

又 ，所以 ，

即 ，則（a﹣1）（t﹣1）=2．

所以at﹣（a+t）=1．

【解析】（1）求導，分類討論，根據導數與函數單調性的關系，即可求得f（x）的單調性區間；（2）由題意可知：C=90°，則 ，即y0=f（x0）＜0，然后得到關于參數a的方程 ，則 ，則（a﹣1）（t﹣1）=2．即可求得at﹣（a+t）=1．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．