Question

【題目】植物園擬建一個多邊形苗圃，苗圃的一邊緊靠著長度大于30m的圍墻．現有兩種方案：

方案① 多邊形為直角三角形（），如圖1所示，其中；

方案② 多邊形為等腰梯形（），如圖2所示，其中．

請你分別求出兩種方案中苗圃的最大面積，并從中確定使苗圃面積最大的方案．

Answer 1

【答案】方案①，②苗圃的最大面積分別為，建苗圃時用方案②，且

【解析】

試題方案① 多邊形為直角三角形，已知兩邊之和為定值，求兩邊之積最大值，這可利用基本不等式求解：設，則（當且僅當時，“=”成立）．方案② 多邊形為等腰梯形，利用梯形面積公式得函數關系式，據題意可設角為自變量，，再利用導數求其最值：當時，．最后比較最值大小，確定方案.

試題解析：解：設方案①，②中多邊形苗圃的面積分別為．

方案①設，則（當且僅當時，“=”成立）．

方案②設，則．

由得，（舍去）

因為，所以，列表：

所以當時，

因為，所以建苗圃時用方案②，且．

答：方案①，②苗圃的最大面積分別為，建苗圃時用方案②，且