Question

【題目】定義在R上的可導函數滿足，記的導函數為，當時恒有.若，則m的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

令g（x）＝f（x）x，求得g（x）＝g（2﹣x），則g（x）關于x=1對稱，再由導數可知g（x）在時為減函數，化f（m）﹣f（1﹣2m）≥3m﹣1為g（m）≥g（1﹣2m），利用單調性及對稱性求解．

令g（x）＝f（x）x，

g′（x）＝f′（x）﹣1，當x1時，恒有f'（x）＜1．

∴當x1時，g（x）為減函數，

而g（2﹣x）＝f（2﹣x）（2﹣x），

∴由得到

f（2﹣x）（2﹣x）=f（x）x

∴g（x）＝g（2﹣x）．

則g（x）關于x=1對稱，

由f（m）﹣f（1﹣2m）≥3m﹣1，得f（m）m≥f（1﹣2m）（1﹣2m），

即g（m）≥g（1﹣2m），

∴，即1．

∴實數m的取值范圍是[﹣1，]．

故選：D．