Question

已知P：實數x滿足x²-2x-3＜0； Q：實數x滿足

x-2

x+3

＜0．
（Ⅰ）在區間（-5，4）上任取一個實數x，求事件“P∨Q為真命題”發生的概率；
（Ⅱ）若數對（m，n）中，m∈{x∈Z|x滿足P}，n∈{x∈Z|x滿足Q}，求事件“n-m∈{x|x滿足‘P∧Q'}”發生的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化簡集合P，Q，利用幾何概型的概率公式即可求出事件“P∨Q為真命題”發生的概率；
（Ⅱ）根據古典概型的概率公式進行計算即可．

解答：解：（Ⅰ）P為真命題?x²-2x-3＜0，x∈R?-1＜x＜3；
Q為真命題?

x-2

x+3

＜0，x∈R?（x-2）（x+3）＜0，x∈R?-3＜x＜2；
又P∨Q為真命題，
∴P為真命題或Q為真命題，即-3＜x＜3，
∴區間（-5，4）的長度為9，區間（-3，3）的長度為6，
由幾何概型知p1=

6

9

=

2

3

故在區間（-5，4）上任取一個實數x，
事件“P∨Q為真命題”發生的概率為

2

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m=0、1、2，n=-2、-1、0、1，
則基本事件（m，n）共有12個：（0，-2），（0，-1），（0，0），（0，1），（1，-2），（1，-1），
（1，0），（1，1），（2，-2），（2，-1），（2，0），（2，1）．
又“x滿足P∧Q”?

-1＜x＜3 -3＜x＜2

?-1＜x＜2，
∴符合“n-m∈{x|x滿足‘P∧Q'}”的基本事件共有3個：（0，0），（0，1），（1，1）．
由古典概型知p2=

3

12

=

1

4

故事件“n-m∈{x|x滿足‘P∧Q'}”的發生概率為

1

4

．

點評：本題主要考查幾何概型和古典概型的概率公式的計算，利用復合命題與簡單命題之間的關系是解決本題的關鍵．